1. В первом случае "в начале" является существительным с предлогом. Вопрос "когда?", так как это обстоятельство. Да и после него идёт дополнение, (в начале чего? - четверти) которое уже даёт нам понять суть.
Во втором случае "вначале" является наречием, так как вопрос "как". Также мы можем его заменить на более понятное (сначала). Не можем же мы сказать, что "в начале" делай. Так предложение просто потеряет смысл. 
2. Тут точно также. Есть пояснение: уходят (куда?) в глубь, значит, существительное. Просто вглубь - наречие. 
3. В гору какую? - крутую - существительное, следовательно,  пишем раздельно. Ели яйца "как"? Вкрутую, т. Е. Наречие.
Вывод:
Всё зависит от того, какая это часть речи. Если существительное, то предлог "в" пишется раздельно. Если это наречие, то слитно. Ещё важно понять смысл самого предложения. Учтя все эти правила, то не будет проблем вообще. Это как масло на хлеб намазать.

Люблю грозу в начале мая,
Когда весенний, первый гром,
как бы резвяся и играя,
Грохочет в небе голубом.

Гремят раскаты молодые,
Вот дождик брызнул, пыль летит,
Повисли перлы дождевые,
И солнце нити золотит.

С горы бежит поток проворный,
В лесу не молкнет птичий гам,
И гам лесной и шум нагорный -
Все вторит весело громам.

Ты скажешь: ветреная Геба,
Кормя Зевесова орла,
Громокипящий кубок с неба,
Смеясь, на землю пролила.

2) Выпишите из второй строфы существительные, прилагательные глагол. В первой строфе найдите числительное, в третей - наречие, в четвёртой - местоимения. Назовите служебной части речи, которые встречаются в стихотворении.

Существительные (2): раскаты, дождик, пыль, перлы, солнце, нити.

Прилагательные (2): молодые, дождевые.

Глагол (2): гремят, брызнул, летит, повисли, золотит.

Числительное (1): первый (гром).

Наречие (3): весело.       

Местоимения (4): ты.

Служебные части речи (предлог, союз, частица, междометие): в, как бы, вот, и, с, не, с, на.

3) Спишите третью строфу. Найди в предложении подлежащие и сказуемые. Каким является предложение по количеству грамматических основ? Составе его схему. Подчеркните все члены предложения. Какую роль в предложениях выполняют существительные? Глаголы? Прилагательные?

С горы бежит поток проворный,
В лесу не молкнет птичий гам,
И гам лесной и шум нагорный -
Все вторит весело громам.

С горы (бежит откуда? – обстоятельство) бежит (сказуемое) поток (подлежащее) проворный (поток какой? – определение),
В лесу (не молкнет где? – обстоятельство) не молкнет (сказуемое) птичий (гам какой? – определение) гам (подлежащее),
И гам (подлежащее) лесной (гам какой? – определение) и шум (подлежащее) нагорный (шум какой? – определение) -
Все (вторит что? – дополнение) вторит (сказуемое) весело (вторит как? – обстоятельство) громам (вторит чему? – дополнение).

Подлежащее подчеркнуть одной чертой, сказуемое – двойной чертой, определение – волнистой линией, дополнение - _ _ _ _, обстоятельство - _._._._.

По количеству грамматических основ (3 грамматические основы) – это СЛОЖНОЕ предложение.

Схема: [= - ][= - ][ - и - =].

Третья грамматическая основа состоит из 2 однородных подлежащих (гам и шум) и одного сказуемого (вторит), схематично можно показать так [О и О =].

Существительные указывают о чем (о ком) идет речь, глаголы определяют действия предмета или явления, а прилагательные – описывают предмет или явление.

Пароход миновал Осиновский порог, и (в предложении 2 грам. Основы, поэтому ставится запятая) сразу Енисей сделался шире, (перечисление однородных членов), раздольней, а (перед союзами ставится запятая) высота берегов пошла на убыль. Чем шире становился Енисей, тем (чем... Тем-тем является второй частью двойного подчинительного союза) положе делались берега, утихало течение, река усмирялась, катила воды без шума и суеты (это перечисление грам. Основ). 
Я один стоял на носу парохода и, счастливо успокоенный, (причастный оборот выделяется с двух сторон запятыми) смотрел на родную реку, вздыхал прохладу белой, тихой ночи (везде перечисление однородных членов). Нос парохода время от времени так глубоко зарывался в воду, что брызги долетали до меня (могу предположить, что это причинно-следственная связь, т. К. Пароход так глубоко зарывался в воду (причина), что брызги долетели до меня (следствие). Я слизывал капли с губ и ругал себя за то, что (придаточные предложения, присоединяемые союзом "за то, что") так долго не был на своей родине, суетился, работал, хворал и ездил по чужим краям (однородные члены). Зачем? (вопрос).
Пароход шёл по Енисею, разрезая, (деепричастие) как студень, (вроде бы это сравнительный оборот, который входит в состав фразеологизма) реку, светлую ночь и тишину её (однородные члены). Все на пароходе спали. Не спал лишь сам пароход, рулевой не спал, и я не спал (грам. Основы). Я ждал солнце. Оно с час назад укатилось в лес и зависло в вершинах его. Туман поднялся над рекою, выступил по логам и распадкам, окурил берега (однородные члены). Он был недолговечен и пуглив, этот летний туман, (обособленное приложение вроде) и пароходу идти не мешал. Вот-вот (наречие, образованное повторением одного и того же слова) после короткой дремы оттолкнётся солнце от острых вершин леса, взойдёт над синими хребтами и спугнёт туманы (однородные члены). Они потянутся под срез тенистых берегов, заползут в гущу леса и там падут росою на травы и листья, на пески и прибрежный камешник (однородные члены). И кончится так и не начавшаяся ночь. Утром-то (частица -то в конце слова пишется через дефис) я и увидел впереди остров. В середине его навалом грудились скалы, меж скал темнели кедрачи, (грам. Основы) местами выгоревшие (причастный оборот выделяется запятыми), а (перед союзом "а" ставится запятая) понизу острова кипел вершинами лес. Берега яркие, в сочной зелени (тоже вроде обособленное приложение)-так (прости, не могу объяснить это правило, может, это тоже обособленное приложение) бывает здесь в конце весны и в начале лета, когда (подчинительный союз) бушует всюду разнотравье, полыхают непостижимо яркие цветы Сибири (грам. Основы). В середине лета, к сенокосу, (приложение вроде) цветы осыпаются и листья на деревьях блекнут. 
Но на подоле острова живая лента зелени! (эмоциональность как бы выражает). Это только что распустившийся гусятник и низенький хвощ. За ними синяя полоса, окроплённая розовыми и огненными брызгами (причастный оборот выделяется запятыми). Цветут колокольчики, жарки, кукушкины слезки, дикий мак (однородные члены). Везде по Сибири они отцвели и семя уронили, а тут (перед союзом "а" ставится запятая)...
-Весна на острове! Весна!.. (тире ставится потому, что это слова человека, как в диалоге вот бывает же; восклицательные знаки ставятся потому, что автор выражает радость весне). 

1. Наречие-сущ.
2. Наречие-сущ
3. Сущ-наречие
4. Наречие-сущ
5. Наречие-наречие
поблагодарите)

1. Люди пристально смотрели   вдаль. (нареч.)   -Его глаза словно вглядывались в  даль (сущ. Даль (чего?- океана)  океана. 2. Такая трава бывает только в  начале (сущ. Начало-чего?- лета) лета.- Вначале я не понял, что случилось. 3. Нога провалилась куда-то вглубь(нареч.).-Мы двинулись в  глубь(сущ. Глубь -чего? Пещеры. 4. Я отправился в  конец (коней улицы)  улицы.-  Вконец   (нар. -как?) обиженный,  я вернулся домой. 5. Селезень взмыл   кверху (нареч.).-   К  верху (сущ. Верх горы)   горы вела узкая тропинка.