Ставится ли запятая в предложении "Вечером пошёл сильный дождь и люди, уставшие, спешили с работы домой, не замечая никого на пути." после слова "дождь", учитывая, что если в ссп имеется общий второстепенный член, который относится к обеим частям этого предложения, то запятая не ставится?
Нет, запятая не ставится. Потому что, как в вопросе у вас помечено, "вечером" - общий член обеих частей предложения. Хотя. Если бы я писал такое предложение, то, вероятно, перед союзом у меня бы стояла запятая. Обоснование: нет твердой уверенности в том, что "вечером" - это член, относящийся ко второй части ссп. 
Для точного определения необходимости запятой следует изучить стиль автора. 
 
Но! Руководствуясь классическими правилами интерпретации, мы должны опустить зпт.

Ставится запятая после слова "дождь", так как если даже по смыслу получается "Вечером пошел сильный дождь и люди", получается и дождь и люди пошли.

ЕЩЕ ПО ТЕМЕ:
ДАЮ
за задание ставится оценка в журнал! Тема- место придаточного предложения по отношению к главному. Знаки препинания в сложноподчиненном предложении
нужно задать вопрос, указать квадр. И круглые скобки. Пример выполнения задания - [это была, по-видимому, одна из тех ужасных гроз}, *вопрос "каких?" от гроз* (которые разряжаются по долинам)
предложения:
1. Вечером я подумал, что скорее всего никуда мы завтра не поедем.
2. Подвела нас погода, которая с каждым часом становилась все хуже.
3. Мелкий противный дождь моросил, не переставая, так что о завтрашней прогулке по лесу страшно было и подумать
4. Перспектива провести все воскресенье в городе огорчила прежде всего Джима, потому что в отличие от меня он прекрасно обходился без зонта.
5. Если дождя утром не будет, мы всё же побродим по осеннему лесу.
6. Чтобы любимый пёс не терял надежды, я достал из шкафа старые кроссовки и завел будильник.
7. Когда я утром открыл глаза, светило яркое солнце
8. Несмотря на то, что гулять по мокрому лесу мне совсем не хотелось, я все же решил не огорчать Джима.
9. Джим, пока я собирался, терпеливо сидел у двери.
10. Дорога, на которую мы свернули, вела к реке

1. [вечером я подумал] подумал о чем?(что скорее всего никуда мы завтра не поедем).
2. [Подвела нас погода] погода какая?(которая с каждым часом становилась все хуже).
3. [мелкий противный дождь моросил, не переставая] что из этого следует?(так что о завтрашней прогулке по лесу страшно было и подумать)
4.[перспектива провести все воскресенье в городе огорчила прежде всего Джима] огорчила почему?(потому что в отличие от меня он прекрасно обходился без зонта).
5.(если дождя утром не будет),[мы всё же побродим по осеннему лесу]. Побродим при каком условии?
6. (Чтобы любимый пёс не терял надежды), [я достал из шкафа старые кроссовки и завел будильник]. Достал с какой целью?
7.(когда я утром открыл глаза),[светило яркое солнце]светило когда?
8.(несмотря на то что гулять по мокрому лесу мне совсем не хотелось),[я все же решил не огорчать Джима]. Вопреки чему?
9.[ Джим, (пока я собирался), терпеливо сидел у двери ].cидел как долго?
10.[дорога,(на которую мы свернули), вела к реке] дорога какая?

СРОЧНООО! НУЖНО объяснить почему ставится запятая. Вот предложения: 1. Мы были уверены, что огонь пугает зверей, но однажды вечером в траве у костра начал сердито сопеть какой-то зверь. 2. От неё шёл вкусный запах и зверь очевидно, прибежал на этот запах. 3. Нос долго нюхал, и дрожал от жадности. 4. Он брезгливо фыркнул, и сделал шаг к картошке. 5. Затем прыгнул к сковородке, и сунул в неё нос. !

Перед союзом но ставится запятая. Пример: я люблю смотреть телевизор, но не много!

1. В первом предложении есть союз ЧТО и НО. Перед ними ВСЕГДА СТАВИТСЯ ЗАПЯТАЯ.         2. Тут запятая должна быть после союза И, потому что тут две грамматические основы!   3. Тут вообще не нужна запятая.    4. Тут тоже не нужна. 5. И ТУТ ТОЖЕ НЕ НУЖНА!

Напишите правила постановки знаков при союзе "как"!
В каком случаи ставится запятая в каком случае нет!

Запятая перед союзом КАК ставится в трех случаях:

1. Если этот союз входит в обороты, близкие по роли в предложении к вводным словам, например: КАК ПРАВИЛО, КАК ИСКЛЮЧЕНИЕ, КАК СЛЕДСТВИЕ, КАК ВСЕГДА, КАК СЕЙЧАС, КАК НАРОЧНО, КАК НАПРИМЕР, КАК ТЕПЕРЬ: Утром, как нарочно, начался дождь;

2. Если этот союз соединяет части сложноподчиненного предложения, например: Мы долго смотрели, как тлеют угли костра;

3. Если в предложении есть обстоятельство, выраженное сравнительным оборотом, который начинается с союза КАК, например: Ее голос звенел, как самый маленький колокольчик;

Обратите внимание: если предложение продолжается после оборотов с союзом КАК, то необходимо поставить еще одну запятую в конце оборота. Например: Внизу, как зеркало, блестела вода; Мы долго смотрели, как тлеют угли костра, не в силах оторваться от этого зрелища.