1. Лета в древнегреческой мифологии - река, отделяющая царство мертвых от царства живых. Кануть в Лету - значит, поэтому, пропасть.
2. Первоначально это выражение имело раздельное написание: «попасть в просак». А у самого слово «просак» было самое прямое, конкретное значение. Так называли станок для производства канатов и веревок. Он имел сложное устройство, в системе натянутых веревок было легко запутаться, и человек, попавший в такой просак, вынужден был приложить немало усилий, чтобы выбраться из него. Кроме того, попадание в переплетение веревок просака грозило работнику немалой опасностью: если в станок попадала рука, борода, край одежды, можно было получить серьезное увечье или даже погибнуть.

Постепенно просак, как и множество других устаревших механизмов, вышел из употребления, был заменен другим, более совершенным оборудованием, а выражение осталось, приобретя слитное написание: «попасть впросак».
3. Многие фразеологизмы возникли в результате наблюдения человека за живой природой. Рассматриваемое выражение – как раз из таких. Когда зверь чем-то обеспокоен, его что-то тревожит или слышатся разные подозрительные звуки, то он поворачивает ушки к предполагаемому источнику шума и старается уловить, что там. Органы слуха, до того незадействованные, становятся «острыми», напрягаются.
4. Когда-то данное выражение употреблялось как словосочетание, в котором каждое слово несло лексическую нагрузку, – в строительном деле. В древние времена, утверждают специалисты, самым сложным процессом в строительстве зданий была подгонка углов. Камни, образовывавшие углы строений, и называли тогда краеугольными. В наши дни это словосочетание часто употребляется в значении первый камень в строительстве чего-либо, закладка которого зачастую проходит в торжественной обстановке.
5. На Руси раньше распространены были длинные рукава, которые засучивались перед работой (отсюда засучив рукава – усердно приняться за дело), а после работы опускались, чтобы согреть руки. Спущенные рукава мешали работе. Отсюда и возникла поговорка: работать спустя рукава – значит "работать небрежно, неохотно, лениво".

Обвести вокруг пальца - обмануть
Засучив рукава - приняться работать
Водой не разольёшь - неразлучны
Попасть впросак - оказаться в неудобном положении
Петя попал впросак из-за того что не услышал тему урока.

Сссссссссссссссссссссссссссссссссссссс

2)Остаться с носом- упустить свой шанс.

3)Быльём поросло-чтото давно забытое.

4)Типун тебе на язык-не говори такого.

1) Попасть впросак - по своей оплошности или незнанию оказаться в невыгодном, неприятном для себя положении.

Оказаться в неприятном или невыгодном положении из-за своей ошибки или незнания.

Просак – это старинный станок для кручения верёвок и канатов. Изготовление верёвок обычно производили на дворе или улице. Между домом и просаком, закреплённым на санях, натягивали льняные нитки. С помощью нехитрого приспособления, имевшегося в просаке, производили скручивание самих ниток и их между собой. Всё это мешало движению людей и транспорта. Попасть случайно между скручиваемыми нитками частью одежды или волосами было небезопасно. Поэтому выражение «попасть впросак» вскоре стали использовать в переносном смысле – «оказаться в трудном положении, сделав неверное движение».

2) Остаться с носом - потерпеть неудачу, оказаться одураченным.

3) Быльём поросло - забыто совсем, окончательно.

Быльё устар. – трава, бурьян.

4 ) Типун тебе на язык – недоброе пожелание тому, кто говорит то, что не следует.

Ироническое пожелание тому, кто высказал недобрую мысль (предсказал неприятное).

Типун – это роговой бугорок на самом кончике языка курицы, он помогает птице клевать. Так же называются и болезненные прыщики на языке человека. В народе их шутливо называют признаками лживости: соврал человек – и у него выскочил на языке типун. Из этих поверий и родилось выражение «типун тебе на язык», то есть: «ты лжёшь, пусть у тебя появится типун на языке». Если кто-либо высказывает недобрую мысль, предсказывает неприятное, ему тоже желают типуна на язык, чтобы это недоброе никогда не сбылось.